偏差積和の計算を簡略化～知力Ver.

偏差平方和に続いて偏差積和の説明やっていくぜ！

偏差積和の計算式はこうだよな。

$$\sum_{i=1}^{n} {(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}$$

これもΣの式を簡略かしていくぜ
$$\sum{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}$$

Σの中を展開するぜ
$$\sum{(x_iy_i-x_i\bar{y}-\bar{x}y_i+\bar{x}\bar{y})}$$

Σを分割するぜ

$$\sum{x_iy_i}-\sum{x_i\bar{y}}-\sum{\bar{x}y_i}+\sum{\bar{x}\bar{y}}$$

Σ内の固定値は外に出すぜ

$$\sum{x_iy_i}-{\color{red}\bar{y}}\sum{x_i}-{\color{red}\bar{x}}\sum{y_i}+\sum{\bar{x}\bar{y}}$$

第4項は固定値\(\bar{x}\bar{y}\)をn回加算しているのでn倍とするぜ
$$\sum{x_iy_i}-\bar{y}\sum{x_i}-\bar{x}\sum{y_i}+{\color{red}n\bar{x}\bar{y}}$$

\(\bar{x}に\sum{x_i}/n\)を代入するぜ

$$\sum{x_iy_i}-\bar{y}\sum{x_i}-{\color{red}\sum{x_i}/n}×\sum{y_i}+n×{\color{red}\sum{x_i}/n}×\bar{y}$$

第4項をnで約分するぜ

$$\sum{x_iy_i}-\bar{y}\sum{x_i}-\sum{x_i}/n×\sum{y_i}+{\color{red}\cancel{n}}×\sum{x_i}/{\color{red}\cancel{n}}×\bar{y}$$

第4項の掛け算の順番を入れ替えたぜ

$$\sum{x_iy_i}-\bar{y}\sum{x_i}-\sum{x_i}/n×\sum{y_i}+{\color{red}\bar{y}}\sum{x_i}$$

おっ！気付いたか？第2項と第4項は同じ値だな。これを相殺するぜ

$$\sum{x_iy_i}-{\color{red}\cancel{\bar{y}\sum{x_i}}}-\sum{x_i}/n×\sum{y_i}+{\color{red}\cancel{\bar{y}\sum{x_i}}}$$

相殺後の第2項の掛け算の順番を整理して最終形態だぜ

$$\sum{x_iy_i}-\sum{x_i}×\sum{y_i}{\color{red}/n}$$

おう。